Презентация по теме правильные многогранники. Презентация "правильные многогранники". Радиус описанной сферы

«Полуправильные многогранники» - Пирамида. Правильные многогранники еще называют Платоновыми телами. Курносый додекаэдр. Тетраэдр. Икосаэдр. Куб. Правильные. Ромбоикосододэкаэдр. Перейти к следующему вопросу. Вспомним. Обучающая программа. Управляющие кнопки. Вы дали неверный ответ. Курносый куб. К какому из типов многогранников относится следующая формула V=a*b*c:

«Правильные многогранники в жизни» - История. Кусудама – бумажный цветочный шар. Евклид. Здание без углов. Примеры. Цели. Иоганн Кеплер. Достопримечательность Белоруссии. Правильные многогранники. Необычные построения. Новое чудо света. Многогранники в искусстве. Многогранники и кристаллы. Применение правильных многогранников в архитектуре.

«Виды правильных многогранников» - Механические головоломки. Египетские Пирамиды. Правильные многогранники и природа. Ученые, внесшие вклад в изучение правильных многогранников. Александрийский Маяк. Площадь икосаэдра. Основные формулы. Пифагор. Галикарнасский мавзолей. Многогранники в природе. Гексаэдр. Октаэдр. Площадь поверхности додекаэдра.

«Применение правильных многогранников» - Многогранники в искусстве. Использование в жизни. Многогранники в природе. Кеплер. Мир правильных многогранников. Группа «Историки». Евклид. Многогранники в математике. Архимед. Теорема Эйлера. История возникновения правильных многогранников. Заключение. Многогранники в архитектуре. Взаимосвязь «золотого сечения» и происхождения многогранников.

«Правильные многогранники в геометрии» - В кристаллографии существует раздел, который называется «геометрическая кристаллография». Лучи кристалла обуславливают икосаэдро-додекаэрическую структуру Земли, Гипотеза В.Макарова и В.Морозова: Тетраэдр-огонь. В местах пересечения рёбер располагаются очаги древних культур и цивилизаций, Многогранники вокруг нас.

«Симметрия правильных многогранников» - Правильный додекаэдр. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Симметрия в искусстве. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. Церковь Покрова Богородицы на Нерли. составлен из шести квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Всего в теме 15 презентаций

Выполнила студентка группы Г 2-9 Н.Ю. Коблюк

Руководитель Е.В. Морозова

Тула 2010

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства»

Бертран Рассел

Многогранник называется правильным , если:

• Он выпуклый.
• Все его грани являются равными правильными многоугольниками.
• В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.
• Все его двухгранные углы равны.

Существует всего пять правильных многогранников :

• Тетраэдр (четырёхгранник)
• Куб (шестигранник)
• Октаэдр (восьмигранник)
• Додекаэдр (двенадцатигранник)
• Икосаэдр (двадцатигранник)

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) «Тимаус».

Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя «земными» элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «неземным» элементом - небом (додекаэдр).

Ко времени Платона в античной философии созрела концепция четырех элементов (стихий) – первооснов материального мира: огня , воздуха , воды и земли .

Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся».

Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед, и октаэдр, как бы направлен одновременно в разные стороны.

Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность» - мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкому к шару.

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.

около 429 – 347 гг до н.э.

выпуклый многогранник, грани которого являются правильными

многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой

вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Икосаэдр

Тетраэдр

Октаэдр

Гексаэдр

Додекаэдр

Тело Платона

Геометрия грани

Число

Тетраэдр

Икосаэдр

Гексаэдр

Додекаэдр

Формула Эйлера Г + В – Р = 2

Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.

У правильного тетраэдра все грани являются равносторонними треугольниками, все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства тетраэдра :

• В тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Тетраэдр с ребром х состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром х/2 и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром х/2.
• Тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.

Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.

• Тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.

Правильный многогранник

Правильный треугольник

Граней при вершине

Длина ребра

Площадь поверхности

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии,

но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем тетраэдра:

Куб или гексаэдр - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

Свойства куба :

• В куб можно вписать тетраэдр двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.
• Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками - эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.
• В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра.
• В куб можно вписать икосаэдр, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Правильный многогранник

Граней при вершине

Длина ребра

Площадь поверхности

Элементы симметрии:

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей

симметрии и 9 плоскостей симметрии .

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности куба:

Объем куба:

S = 6 a 2

V =a 3

Окта́эдр - один из пяти правильных многогранников.

Октаэдр имеет 8 граней (треугольных),

12 рёбер, 6 вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра).

Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре .

Свойства октаэдра :

• Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Октаэдр с ребром у состоит из 6 октаэдров (по вершинам) с ребром у:2 и 8 тетраэдров (по граням) с ребром у:2
• Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра.

Правильный многогранник

треугольник

Граней при вершине

Двойственный многогранник

Элементы симметрии:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем октаэдра:

Икоса́эдр - правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин - 12. Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.

Свойства :

• Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
• В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Икосаэдр можно вписать в додекаэдр притом, вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• В икосаэдр можно вписать додекаэдр притом, вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра.

Правильный многогранник

Правильный треугольник

Граней при вершине

Двойственный многогранник

додекаэдр

Элементы симметрии:

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

Додека́эдр (двенадцатигранник) - правильный многогранник, объёмная геометрическая фигура, составленная из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх.

Правильный многогранник

Правильный пятиугольник

Граней при вершине

Двойственный многогранник

икосаэдр

Элементы симметрии:

Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем додекаэдра:

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли ( NaCl ) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами ( K [ Al ( SO 4 ) 2 ]  12 H 2 O ), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана ( FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий ( Na 5 ( SbO 4 ( SO 4 )) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Феодария

( Circjgjnia icosahtdra )

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэрролл

Использовались материалы:

http://www.vschool.ru

http://center.fio.ru

http://gemsnet.ru

http://alzl.narod.ru

http://ru.wikipedia.org

Использовались

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Правильные многогранники

Сколько существует правильных многогранников? - Как они определяются, какими свойствами обладают? -Где встречаются, имеют ли практическое применение?

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

«эдра» - грань «тетра» - четыре гекса» - шесть «окта» - восемь «додека» - двенадцать «икоса» - двадцать Названия этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указано число граней.

Название правильного многогранника Вид грани Число вершин ребер граней граней, сходящихся в одной вершине Тетраэдр Правильный треугольник 4 6 4 3 Октаэдр Правильный треугольник 6 12 8 4 Икосаэдр Правильный треугольник 12 30 20 5 Куб (гексаэдр) Квадрат 8 12 6 3 Додекаэдр Правильный пятиугольник 20 30 12 3 Данные о правильных многогранниках

Вопрос (проблема): Сколько существует правильных многогранников? Как установить их количество?

α n = (180 °(n -2)) : n При каждой вершине многогранника не меньше трех плоских углов, и их сумма должна быть меньше 360 ° . Форма граней Количество граней при одной вершине Сумма плоских углов при вершине многогранника Вывод о существовании многогранника α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3

Л. Кэрролл

Великие математики древности Архимед Евклид Пифагор

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются тела Платона

тетраэдр - огонь куб - земля октаэдр - воздух икосаэдр - вода додекаэдр - вселенная

Многогранники в науках о космосе и земле

Иоганн Кеплер (1571-1630) – немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии - открыл законы движения планет (законы Кеплера)

кубок Кеплера Космический

" Экосаэдро - додекаэдровая структура Земли "

Многогранники в искусстве и архитектуре

Альбрехт Дюрер (1471-1528) «Меланхолия»

Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»

Современные архитектурные сооружения в виде многогранников

Александрийский маяк

Кирпичный многогранник швейцарского архитектора

Современное здание в Англии

Многогранники в природе ФЕОДАРИЯ

Пирит (сернистый колчедан) Монокристалл алюмокалиевых квасцов Кристаллы красной медной руды ПРИРОДНЫЕ КРИСТАЛЛЫ

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба. Молекулы воды имеют форму тетраэдра. Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра

Алмаз В форме октаэдра кристаллизуются алмаз, хлорид натрия, флюорит, оливин и другие вещества.

Исторически первой формой огранки, появившейся в XIV веке стал октаэдр. Алмаз Шах Масса алмаза 88,7 карата

Задача Английская королева дала указание сделать огранку вдоль ребер алмаза золотой нитью. Но огранка не была сделана, так как ювелир не сумел рассчитать максимальную длину золотой нити, а сам алмаз ему не показали. Ювелиру были сообщены следующие данные: число вершин В=54, число граней Г=48, длина наибольшего ребра L= 4мм. Найти максимальную длину золотой нити.

Правильный многогранник Число Граней Вершин Рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В + Г - 2 = Р где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер этого многогранника.

ФИЗМИНУТКА!

Задача Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.

Задача Найти высоту правильного тетраэдра с ребром 12 см.

Кристалл имеет форму октаэдра, состоящего из двух правильных пирамид с общим основанием, ребро основания пирамиды 6 см. высота октаэдра 8 см. Найдите площадь боковой поверхности кристалла

Площадь поверхности Тетраэдр Икосаэдр Додекаэдр Гексаэдр Октаэдр

Задание на дом: mnogogranniki.ru Пользуясь развертками изготовить модели 1-го правильного многогранника со стороной 15 см, 1-го полуправильного многогранника

Спасибо за работу!

Урок геометрии в 10 классе

Правильные

многогранники

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

Правильный многогранник

• это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Признаки правильных многогранников:

Многогранник – выпуклый

Все его грани – равные правильные многоугольники

В каждой вершине сходится одинаковое число граней

Равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоси» - 20

«додека» - 12

Существует пять различных видов правильных многогранников

Додекаэдр

Тетраэдр

Икосаэдр

Гексаэдр

Название правильного

многогранника

определяется количеством граней

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Тетраэдр

Гексаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Открытие удивительной закономерности

у правильных многоугольников

Теорема о числе граней, вершин и рёбер

выпуклого многогранника – 1755 год

Эйлерова

характеристика многогранника

Сколько существует различных видов правильных многогранников?

При одной вершине сходится n плоских углов,

но чтобы образовался многогранный угол сумма

их градусных мер должна быть меньше 360°, т.е.

Какие многоугольники могут быть гранями правильных многогранников?

Угол правильного треугольника равен 60°, значит в

одной вершине может сходиться 3, 4 или 5 правильных

треугольников

Тетраэдр

Икосаэдр

Существуют многогранники, гранями которых являются правильные треугольники

Угол квадрата равен 90°, значит в одной вершине может сходиться только 3 квадрата

Существуют многогранники, гранями которых являются правильные четырёхугольники

Гексаэдр

Угол правильного пятиугольника равен 108°, значит в одной вершине может сходиться только 3 правильных

пятиугольника

Существуют многогранники, гранями которых являются правильные пятиугольники

Додекаэдр

Платоновы тела

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида.

Правильные многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: огонь, вода,воздух,земля.

Пятый же многогранник символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

вода

огонь

воздух

земля

вселенная

огонь

вода

воздух

земля

вселенная

тетраэдр

икосаэдр

гексаэдр

додекаэдр

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена

вверх, как у пламени

октаэдр – олицетворял воздух

куб – самая устойчивая из фигур – олицетворял землю

икосаэдр – как самый обтекаемый – олицетворял воду

додекаэдр символизировал весь мир

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. В центре картины расположен додекаэдр.

Икосаидро-додекаидровая структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэррол

Домашнее задание:

Изготовить модель правильного многогранника и вычислить площадь его поверхности.

900igr.net

http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/

Мир многогранников http://lesavchen. ucoz.ru/

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Cлайд 10

Cлайд 11